Matematik

Klasik mantık Aristoteles mantığı İLE modern mantık sembolik mantıktır. Klasik mantık doğal dil ile İLE modern mantık matematiksel gösterimle çalışır. Klasik mantık üç temel yasa İLE modern mantık önerme ve yüklem mantığı içerir.

Tamamlanabilirlik her doğru önermenin kanıtlanabilmesi İLE tamamlanmazlık bazı doğruların kanıtlanamayacağıdır. Gödel tamamlanmazlık teoremi matematiksel sistemlerin sınırını gösterdi İLE yeterince güçlü her sistemde kanıtlanamayan doğrular vardır.

Toplama birleştirme, çarpma tekrarlı toplama

Karar verilebilirlik tüm önermelerin mekanik olarak test edilebilmesi İLE karar verilemezlik bazı soruların algoritmik çözümünün olmayışıdır. Turing ve Church karar verilemezlik problemini gösterdi İLE her matematiksel sorunun mekanik çözümü yoktur.

Boole cebiri mantıksal işlemler İLE klasik cebir sayısal işlemlerle çalışır. Boole cebiri ve, ya da, değil İLE klasik cebir toplama, çarpma, çıkarma kullanır. Boole cebiri dijital devrelerin temeli İLE modern bilgisayarların mantıksal altyapısıdır.

Russell paradoksu kendini içermeyen kümelerin kümesi paradoksu İLE naif küme kuramı sınırsız küme oluşturma ilkesidir. Russell paradoksu kendini içeriyor mu sorusu İLE naif küme kuramınin tutarsız olduğunu gösterdi. Bu paradoks modern aksiyomatik küme kuramıni doğurdu.

Church-Turing tezi etkin hesaplanabilir fonksiyonlar Turing makinesi ile hesaplanabilir İLE hesaplanabilirlik sınırı mekanik çözümün sınırlarıdır. Bu tez matematiksel olarak kanıtlanamaz İLE ama evrensel olarak kabul edilir.

Durma problemi bir programın durup durmayacağının belirlenmesi İLE karar problemi genel algoritma varlığı sorusudur. Turing durma probleminin çözülemez olduğunu kanıtladı İLE bazı soruların algoritmik çözümü yoktur.

Tutarlılık bir sistemde çelişki olmaması İLE tutarsızlık çelişki içermesidir. Gödel bir sistemin tutarlılığının o sistem içinde kanıtlanamayacağını gösterdi İLE bu matematiğin sınırlarını ortaya koydu.

Bölme bölüm verir, mod kalan verir

Palindrom tersten aynı, emirp tersi de asal olan asal

Mükemmel sayı bölenlerinin toplamı kendisine eşit İLE arkadaş sayılar birbirlerinin bölen toplamına eşit

Cantor paradoksu tüm kümelerin kümesi paradoksu İLE sonsuzluk kavramı farklı büyüklükteki sonsuzlukları içerir. Cantor bazı sonsuzların ötekinden büyük olduğunu gösterdi İLE bu sezgiye aykırı ama matematiksel olarak tutarlıdır.

Aşil paradoksu yavaş gidene yetişememe İLE hareket paradoksu sonsuz bölmenin sonucudur. Zenon Aşil kaplumbağaya yetişemez çünkü sonsuz adım gerekir İLE bu hareketin mantıksal analizini sorgular. Modern matematik limit kavramı ile çözüldü.

Sayılabilir sonsuz doğal sayılarla eşlenebilen İLE sayılamaz sonsuz daha büyük sonsuzdur. Cantor doğal sayılar sayılabilir İLE gerçel sayılar sayılamaz olduğunu kanıtladı. Bu farklı sonsuzluk büyüklükleri gösterir.

Yalancı paradoksu "Bu tümce yanlıştır" önermesi İLE doğruluk paradoksu öz-göndergeli tümcelerin paradoksudur. Yalancı paradoksu doğruysa yanlış, yanlışsa doğru İLE bu klasik mantık için sorun yaratır. Tarski doğruluğun meta-dilde tanımlanması gerektiğini gösterdi.

Monte Carlo rastgele örnekleme, FEM deterministik bölümleme

Önerme mantığı önermeler arası ilişkiler İLE yüklem mantığı önermelerin iç yapısını inceler. Önerme mantığı ve, ya da, değil bağlaçları İLE yüklem mantığı niceleyiciler (tüm, bazı) kullanır. Önerme mantığı daha basit İLE yüklem mantığı daha güçlü ifade gücüne sahiptir.

Özdeşlik yasası A=A İLE çelişmezlik yasası A ve değil-A ikilik doğru olamaz. Özdeşlik bir şeyin kendisiyle aynılığı İLE çelişmezlik karşıt iki önerme ikilik kabul edilemez. Aristoteles iki temel mantık yasasını belirledi.

Tümdengelim genelden özele gidiş İLE tümevarım özelden genele gidişe dayanır. Tümdengelim mantıksal zorunluluk İLE tümevarım olasılık sağlar. Tümdengelim geçerliyse sonuç kesin İLE tümevarım sonuç muhtemeldir.